Luca ha rappresentato l’aspetto sterile della matematica, il lato temuto da ogni alunno, ovvero il momento della verifica che non lascia scampo. Mi ha fatto venire in mente gli anni in cui ero sempre rimproverata a scuola perchè spesso, per distrazione, durante lo svolgimento di sistemi di equazioni o disequazioni, ricopiavo un numero sbagliato e così il risultato non tornava… Beh ovviamente non erano errori da fare, ma mi sono sempre chiesta come mai si desse così tanta importanza solo al risultato e nonostante i passaggi per arrivarci fossero esatti mi si togliesse un intero punto di votazione come veniva tolto nel caso in cui l’esercizio non fosse stato neppure cominciato…

Sara ha rappresentato la sua maestra alla lavagna e quando le ho chiesto quale fosse il motivo della sua scelta mi ha risposto che a lei la matematica non piace ma quando la fa con la maestra Clara diventa tutto più facile. Questo disegno evoca il fatto che avere un insegnante motivato, competente e predisposto verso gli alunni aiuta ad affrontare con più serenità anche le difficoltà che si incontrano seguendo una materia che non è troppo di nostro gusto.

Questo è il disegno che più mi ha colpito perchè nella sua semplicità esprime un contenuto molto profondo. Quando ho chiesto a Leonardo cosa avesse voluto rappresentare lui mi ha risposto: “Il mio pensiero è stato un universo di numeri!”. I numeri per lui sono dappertutto, nel suo immaginario diventano anche navicelle spaziali… I numeri fanno parte della nostra vita e non possiamo farne a meno e bisogna tenere sempre a mente una grande verità:

l’allievo apprende la matematica nonostante la scuola!

Nel 1614 si hanno i famosi Bastoncini di Nepero, detti anche “ossi di Napier”, dal nome del  matematico scozzese. Essi servivano per semplificare moltiplicazioni e divisioni e rimasero in uso per circa un secolo. Il nome di Napier fu molto noto negli ambienti accademici anche per aver inventato i logaritmi.

I suddetti bastoncini (o regoli) permettevano di moltiplicare o dividere un numero qualunque per un numero di una sola cifra, senza usare la Tavola Pitagorica. I regoli erano 11, ciascuno diviso in 10 quadrati. Questi, a loro volta, erano tagliati da una diagonale, sopra la quale stavano i numeri delle decine, mentre sotto stavano i numeri delle unità. Un regolo era fisso e gli altri mobili.

Facciamo un es.: moltiplichiamo 7 x 123. Accanto al regolo fisso si pone il regolo 1, leggendo a fianco di 7 la coppia 0/7; poi si fa la stessa cosa col regolo 2 e si legge la coppia 1/4; infine col regolo 3 si legge la coppia 2/1. Il totale sarà 861, cioè: per unità avrà 1 (si guarda l’unità del regolo 3); per decina avrà 6 (2 + 4); per centinaia avrà 8 (1 + 7).

ALLA SCUOLA DELL’INFANZIA

Se si fanno esperienze strutturo-ritmiche nella scuola dell’infanzia, allora queste, in opportune condizioni sperimentali, conducono il bambino allo sviluppo del linguaggio matematico e delle strutture logiche.

A) Mettere un certo numero di palline ugualmente distanti fra di loro, chiedere al bambino di battere un colpo davanti ad ogni pallina. 

Obiettivo: avvicinare il bambino al concetto di quantità con attività ritmiche.

B) Ripetere l’esercizio, per ogni bambino, cambiando il numero di palline e chiedere la differenza in base alla quantità, -pochi/tanti-.

Obiettivo: avvicinare il bambino al concetto di quantità con attività ritmiche.

C) Togliere alcune palline e chiedere di battere un colpo davanti ad ogni pallina e far finta di batterlo dove la pallina è stata tolta.  

Obiettivo: avvicinare il bambino alla rappresentazione mentale di contrasto come alternanza ritmica di opposti -suono e pausa-. 

D) Battere un certo numero di colpi. Chiedere al bambino di fare altrettanto, successivamente di scrivere graficamente ciò che ha fatto (fare tre cerchietti, o deporre tre oggetti). Progressivamente aumentare il numero dei colpi esercitando in tal modo anche la memoria uditiva.

 Obiettivo: fare esperienza di corrispondenza biunivoca utile per fissare l’idea di numero. 

]]> http://luna17381.wordpress.com/2010/07/09/370/feed/ 0 luna17381 http://luna17381.wordpress.com/2010/06/27/316/ http://luna17381.wordpress.com/2010/06/27/316/#comments Sun, 27 Jun 2010 18:44:00 +0000 Elisabetta http://luna17381.wordpress.com/?p=316 ]]> LA MACCHINA DI ANTICITERA

Il più antico calcolatore a ingranaggi lo conosciamo col nome di Macchina di Anticitera, ed è dell’87 a.C. Anticitera era una piccola isola presso Creta; la macchina fu trovata tra i resti di una nave affondata. Probabilmente fu realizzato tra il 150 e il 100 a.C. nell’isola di Rodi. Fu trovato nel 1901 da alcuni pescatori di spugne, a bordo di una nave romana affondata, ma solo nel 1951 si è cominciato a capire come funzionava. Derek De Solla Price ci ha messo 20 anni (1950-70) per poterlo riprodurre. Alla sua progettazione partecipò probabilmente Ipparco, uno dei maggiori astronomi dell’epoca. Meccanismi simili appaiono di nuovo nella Bisanzio del V secolo e nell’islam medievale, ma bisogna dire che tutta la tecnologia del II sec. a. C. andò perduta e non venne trasmessa alle generazioni successive (p.es. la ruota dentata dovette essere inventata due volte).

Il meccanismo misurava 18×15 cm. Prevedeva il moto della luna lungo lo zodiaco (tenendo conto dell’orbita ellittica del satellite), i movimenti del sole, le fasi lunari e le eclissi, sia solari che lunari. In tutto aveva 37 ingranaggi, tra ruote dentate, perni e lancette (7 sono andati perduti).

Si trattava di un complesso planetario, mosso da vari ingranaggi a ruote dentate, che serviva per calcolare il sorgere del sole, le fasi lunari, i movimenti dei cinque pianeti allora conosciuti, gli equinozi, i mesi e i giorni della settimana. La funzione di alcuni quadranti non è stata ancora ben chiarita. Per farlo funzionare bastava girare una piccola manovella.

Con pochissime modifiche avrebbe potuto funzionare come un calcolatore matematico. Infatti, la sua logica di funzionamento, che era di molto superiore a quella degli orologi automatici ad acqua di quel tempo, sarà la stessa dei calcolatori meccanici che verranno costruiti prima di quelli elettronici.

Nel 1902, presso il relitto di una nave, rinvenuto presso l’isola di Anticitera, tra il Peloponneso e Creta, furono trovati dei frammenti di rame fortemente corrosi, che apparivano i resti di un congegno di orologeria con complicati ingranaggi. Il meccanismo risale alla prima metà del I sec. a.C., ma il congegno apparve talmente diverso da qualsiasi oggetto noto risalente all’antichità classica, che alcuni studiosi sostennero che dovesse trattarsi di un moderno orologio, affondato casualmente nel luogo del relitto.

Le iscrizioni sui frammenti, leggibili solo in parte, mostrano come il congegno riguardasse i moti del Sole e della Luna. Secondo la ricostruzione di Price, il meccanismo costituiva una sorta di calendario perpetuo, che permetteva di calcolare le fasi della Luna, passate e future. A questo scopo, un complesso ingranaggio trasferiva il movimento da una ruota, che rappresentava il ciclo solare, a un’altra che indicava le rivoluzioni siderali della Luna, secondo il rapporto di 254 rivoluzioni siderali della Luna ogni 19 anni solari.

Dal punto di vista tecnologico, sono due le caratteristiche salienti del meccanismo. La prima è la complessità degli ingranaggi, che producono il rapporto desiderato, 254:19, con l’impiego di una ventina di ruote dentate. E’ questa complessità che fa classificare l’oggetto tra i “lavori di orologeria”. La seconda caratteristica è la più notevole ed è la presenza di un differenziale, cioè di un meccanismo che permette di ottenere una rotazione di velocità pari alla somma o alla differenza di due rotazioni date. La funzione del differenziale era quella di mostrare, oltre ai mesi lunari siderali, le lunazioni, ottenute sottraendo il moto solare al moto lunare siderale.

Price arriva alla conclusione che la presenza di questo singolo oggetto di alta tecnologia è sufficiente per modificare le nostre idee sulla civiltà classica e smentire definitivamente i luoghi comuni sul disprezzo dei Greci per la tecnologia e sull’insuperabile solco che l’istituzione della schiavitù avrebbe creato tra la teoria e le scienze sperimentali ed applicative.

• Una leggenda araba del VI sec. a.C. narra che l’inventore degli scacchi fu il persiano (o indiano?) Sessa Ebu Daher, che presentò al re di Persia un nuovo gioco appena ideato: gli scacchi. (In realtà l’origine di questo gioco si perde nella notte dei tempi: probabilmente fu un’invenzione sumera risalente all’incirca 2000-2200 anni a.C.).

Il re di Persia, apprese le regole, ne fu entusiasta e chiese al suo inventore quale dono desiderava come ricompensa. Sessa Ebu Daher, che conosceva bene i calcoli sull’elevamento a potenza, chiese un chicco di grano per il primo riquadro della scacchiera, due per il secondo, quattro per il terzo, otto per il quarto e così via per tutti i 64 riquadri.

• Il re pensò che la richiesta fosse troppo misera, ma quando i matematici si misero a fare i conti scoprirono allibiti che i chicchi di grano erano ben 18.446.744.073.709.551.615, cioè 2⁶⁴-1. Una tale quantità di grano non era reperibile in tutto l’intero regno persiano.

Questa leggenda dimostra quale importanza attribuissero gli antichi allo studio dell’elevamento a potenza.

• In realtà l’inizio di questi studi risale almeno a 1700 anni a.C. A questa data infatti risalgono le tavolette babilonesi di argilla scritte in cuneiforme, contenenti calcoli con le potenze. Alcuni di questa tavolette sono vere e proprie tavole di calcolo, con il cubo e il quadrato di vari numeri. Avevano quindi uno scopo pratico.

• Partendo dai primi semplici elevamenti di numeri al quadrato e al cubo, i babilonesi erano giunti a questo calcolo assai complesso, che tradotto in numeri moderni è: 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ +2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ = 2¹⁰ – 1.

• Di queste tavolette colpisce la complessità dell’evoluzione del calcolo e la modernità nell’uso della matematica stessa. Infatti, la semplificazione pratica dei calcoli matematici, mediante le tavole delle potenze, è propria dei nostri tempi, in cui si è resa necessaria semplificare la scrittura di numeri molto grandi. P.es. invece di scrivere 5.000.000.000.000 è sufficiente scrivere 5 x 10¹².

• Stesso discorso vale per numeri riferiti a dimensioni molto piccole, specialmente dopo la scoperta del microscopio elettronico. Così, anziché scrivere che un determinato virus ha una lunghezza di m 0,000000001, possiamo scrivere lo stesso dato come 10^-9 metri.

E GLI ANIMALI

Corvi e numeri

C’è un racconto che risale al Settecento, citato da tutti gli studiosi delle abilità matematiche degli animali. E’ la triste storia di un corvo che viveva in una torre e che, per sua sfortuna, sapeva contare soltanto fino a cinque:

 Un contadino voleva uccidere un corvo che aveva fatto il suo nido in cima a una torre, dentro ai suoi poderi. Ma ogni volta che si avvicinava, l’uccello volava via, fuori  dalla portata del suo fucile, finché non si allontanava. Solo allora il corvo ritornava nella torre, riprendendo le sue dannose incursioni sui terreni del contadino. Questi pensò allora di chiedere aiuto a un suo vicino. I due uomini armati entrarono insieme nella torre, ma poco dopo ne uscì soltanto uno. Il corvo però non si lasciò ingannare, e non ritornò al nido finché non fu uscito anche il secondo contadino. Per riuscire ad ingannarlo entrarono poi tre uomini e successivamente quattro e cinque. Ma il corvo ogni volta aspettava che fossero usciti tutti prima di far ritorno al nido. Soltanto in sei finalmente, i contadini ebbero la meglio, infatti il corvo aspettò che cinque di loro fossero usciti e quindi fiducioso rientrò sulla torre, dove il sesto contadino lo uccise. Questo significa che il corvo sapeva contare fino a cinque? Al di là di questo racconto e di ogni dubbio, è quanto ha dimostrato Otto Koehler, celebre etologo tedesco. Koehler è stato fra i primi studiosi delle abilità matematiche degli animali ad ottenere risultati scientificamente corretti. Protagonista di uno dei suoi esperimenti più famosi era proprio un corvo, di nome Jacob. Al corvo venivano presentate diverse scatole con un coperchio sul quale erano disegnati un certo numero di punti. Il corvo veniva premiato quando apriva la scatola che presentava sul coperchio un numero di punti uguale a quello dei punti disegnati su un cartoncino che gli veniva mostrato. Jacob imparò a scegliere fra le diverse scatole quella che aveva sul coperchio lo stesso  numero di punti del cartoncino. Alla fine Jacob sapeva distinguere 2, 3, 4, 5 e 6 punti. Uno in più del “corvo della torre”. Si tenga presente che i punti sul coperchio erano diversi, per forma e disposizione, da quelli disegnati sul cartoncino. Koehler dimostrò così che gli uccelli erano in grado di confrontare due numerosità e di ricordare il numero di oggetti presentati in tempi successivi. 

  “Il nostro cervello – sostiene Stanislas Dehaene, un  matematico  specializzato  in psicologia   cognitiva che   si  è dedicato   allo   studio   della rappresentazione   dei   numeri   e   della   matematica – esattamente come quello del corvo, è dotato da tempo immemorabile di una rappresentazione intuitiva delle quantità”. Gli animali sanno dunque contare, anche se non contano esattamente come noi, ma in un modo più approssimativo, più “vago”.

Canarini, pappagalli

e altri uccelli matematici

Non sono soltanto i corvi a dimostrare certe abilità matematiche naturalmente. Lo stesso Koehler addestrò alcune taccole a sollevare i coperchi di un certo numero di scatole per arrivare a prendere da esse un numero stabilito di pezzetti di cibo. Raggiunto il numero proposto dall’addestratore dovevano fermarsi. Le taccole arrivarono ad eseguire con successo questi esperimenti. Altri ricercatori addestrarono un gruppo di canarini a scegliere la quinta pastiglia che incontravano durante la loro ispezione di una serie di gabbie comunicanti. Piccioni furono in grado di contare il numero dei loro colpi di becco, arrivando a distinguere quarantacinque da cinquanta colpi.

Alex, il pappagallo matematico

Oggi, fra gli uccelli, c’è una vera star della matematica. Si chiama Alex ed è un pappagallo cenerino africano. Pazientemente,  la psicologa Irene Pepperberg della Brandeis University in Waltham, Massachusetts, lo ha seguito per 27 anni, insegnandogli un vasto vocabolario di parole inglesi e fra queste i nomi di sette colori, di cinque forme e i numeri da uno a sei.

Alex, con la sua istruttrice

Quando gli si chiede quanti oggetti ci siano in un vassoio risponde nel suo migliore inglese con il numero corrispondente, anche se gli vengono presentati oggetti mai visti prima.  La cosa più sorprendente, secondo Pepperberg, sarebbe  la conquista dello zero,  un concetto difficile della matematica, lo zero, al quale i bambini arrivano soltanto all’età di tre o quattro anni. Nelle prove delle sue abilità di calcolo usa correttamente il termine “nessuno” in assenza di una quantità numerica da calcolare. Questa conclusione è un po’ azzardata ed è stata infatti contestata da molti altri esperti.

 Alex non ha capito probabilmente cosa significhi addizionare o sottrarre zero a un numero, ma più semplicemente potrebbe rispondere “none” quando non riesce a identificare il numero degli oggetti che si trova di fronte. E questa è forse l’osservazione più sensata riguardo alla sua padronanza del concetto di zero. 

Fenomeni da baraccone,

 o da tv

Hans l’astuto, il cavallo sapiente

Animali “sapienti”, portati in  giro ad esibirsi in circhi o teatri, ce ne sono sempre stati. Sono animali in grado di compiere calcoli sorprendenti,  grazie però a qualche trucco, anche involontario, nei rapporti con l’addestratore.   Esemplare è il caso un cavallo tedesco, Hans l’astuto, Der kluge Hans, addestrato per più di dieci anni dal suo padrone, Wilhelm von Osten, insegnante di matematica e addestratore di cavalli. Hans sembrava in grado di risolvere problemi di matematica e di compitare parole.

 Siamo all’inizio del secolo scorso e il cavallo si esibiva in teatri e fiere oppure nel cortile della casa di von Osten, di fronte a una folla entusiasta per le sue prodezze. Il pubblico poneva un problema di aritmetica, ad esempio: “Quanto fa 4 + 6?”. Hans rispondeva battendo con uno degli zoccoli anteriori una serie di colpi pari al risultato dell’addizione. E le capacità matematiche di Hans sembravano ancora più strabilianti. Sembrava in grado infatti di operare anche con le frazioni, ad esempio di sommare 2/5 e 1/2. Dava la risposta battendo prima 9 colpi e poi 10.

 Nel 1904 venne istituita una commissione d’inchiesta, presieduta da un eminente psicologo, Carl Stumpf, una commissione voluta dallo stesso proprietario del cavallo, convinto e probabilmente in buona fede, che Hans  fosse veramente, fra i cavalli, l’Einstein della matematica. Dopo un esame lungo e approfondito, la commissione dovette concludere che non c’erano trucchi nelle esibizioni del cavallo. Qualcuno però non era convinto dei risultati dell’inchiesta. Si chiamava Oskar Pfungst ed era uno studente del presidente della commissione. Con nuovi accurati esperimenti dimostrò che Hans riceveva dei segnali dal proprietario, oppure dalla persona tra il pubblico che gli poneva una domanda. Segnali che indicavano al cavallo il momento in cui doveva smettere di battere la zampa. Poteva essere semplicemente un battito di ciglia, un movimento del capo o delle narici, corrispondenti a un aumento della tensione in chi lo interrogava, quando il cavallo si avvicinava alla risposta.

Quali sono i limiti dell’intelligenza matematica degli animali? A quale livello possono arrivare le loro capacità? Sono domande che abbiamo già espresso e per le quali non sembra che a tutt’oggi ci siano risposte convincenti. Lo studio dell’intelligenza animale è ancora molto approssimativo.  

Nuovi raffinatissimi  strumenti,  disponibili soltanto  da  pochi anni,  come la camera a positroni, consentono di   visualizzare   l’attività   cerebrale   e   avviare    nuovi rivoluzionari  studi  sul  cervello,  arrivando, tra l’altro, a localizzare anche i  circuiti neurali della matematica. Ma questi studi sono soltanto all’inizio sull’uomo, e molto meno avanzati per gli animali. 

Scrive Dehaene: “Noi siamo dotati di una rappresentazione mentale delle quantità molto simili a quella di un ratto, un piccione o una scimmia. Proprio come loro possiamo, senza fare ricorso al linguaggio, numerare rapidamente collezioni di oggetti sonori o visivi, addizionarli e confrontarne la cardinalità. Queste capacità, ereditate dalla nostra storia evolutiva, non ci permettono soltanto di fare una stima rapida della grandezza di un insieme. Secondo me entrano ugualmente in gioco quando siamo in grado di capire numeri pronunciati o scritti in forma simbolica, per esempio in cifre arabe. In breve, l’intuizione delle grandezze numeriche che ereditiamo dall’evoluzione avrebbe il ruolo di un germe che favorirebbe lo sbocciare della matematica più avanzata”.  

Devlin invita a distinguere fra l’aritmetica degli animali e la matematica dell’uomo: “Il pensiero matematico – osserva – sembra essere esclusivo degli esseri umani”. Inoltre “La matematica non ha  a che fare con i numeri, ma con la vita. Riguarda il mondo in cui viviamo. Le idee. Ben lungi dall’essere opaca e sterile come tanto spesso la si dipinge, essa trabocca di creatività”. 

La numerazione a base 10, che attualmente è in uso in tutto il mondo, è detta anche “posizionale”, in quanto ogni posizione numerica rappresenta convenzionalmente una diversa potenza di 10, con esponente crescente, da destra verso sinistra: unità (10°), decine (10¹), centinaia (10²), migliaia (10³), ecc.

Per ragioni legate allo sviluppo tecnologico, nell’ultimo secolo sono state studiate numerazioni posizionali con basi diverse da 10: quella p.es. a base 2 (0 e 1) ha permesso la realizzazione dei calcolatori elettronici.

Nelle numerazioni non decimali ogni diversa posizione numerica corrisponde non a una potenza di 10, ma a una potenza della base adottata. Se prendiamo la numerazione a base 3 (0, 1 e 2), ogni posizione corrisponde a una diversa potenza di 3. P. es.: il numero 201 corrisponde a 1×3 + 0×3 + 2×3 = 1×1 + 0×3 + 2×9 = 1+18 = 19.

Per convertire un numero da base 10 a base 3 bisogna eseguire una serie di divisioni per 3, partendo da numero dato e utilizzando come dividendo, ad ogni successivo passaggio, il quoziente ottenuto nella divisione precedente. I resti interi di ognuna di queste divisioni, scritti nell’ordine inverso a quello in cui sono stati ottenuti, forniscono il numero codificato.

P.es. per passare dal numero 19 (scritto in base 10) al corrispondente numero a base 3, bisogna operare così: 19:3 = 6, col resto di 1; 6:3 = 2, col resto di 0; 2:3 = 0, col resto di 2. Scrivendo in ordine inverso i resti ottenuti si ottiene appunto 201 che corrisponde appunto a 19 in base 3.

Ecco una tabella esplicativa sino al n. 27:

• I romani rappresentavano i numeri con alcune lettere maiuscole del loro alfabeto. Il disegno di queste lettere:
  I (uno), V (cinque), X (dieci), C (cento), D (cinquecento), M (mille), era molto semplice e si poteva fare ovunque: per terra, sulla sabbia, sulla polvere, con un bastoncino. In fondo la terra non è forse stato il primo quaderno da scrivere? Le prime lettere dell’alfabeto furono disegnate su tavolette ricoperte di sabbia; solo successivamente la sabbia venne sostituita dalla cera e le lettere venivano incise con un ferro appuntito chiamato “stilo”.

• La numerazione romana era fondata su questi principi:

1. le lettere I – X – C si potevano ripetere fino a tre volte (II=2; III=3; XX=20; XXX=30);
2. una cifra piccola, posta alla destra di una più grande, si sommava (VI=6; VIII=8; XII=12; LV=55);
3. le cifre I – X – C, poste alla sinistra di una cifra più grande, si sottraevano (IV=4; IX=9; XC=90; CD=400);
4. un trattino orizzontale, segnato sopra una o più lettere, rendeva il loro valore mille volte più grande (= 3.000; = 10.000; = 10.008);
5. due trattini orizzontali rendevano il valore delle lettere un milione di volte più grande ( = 5 milioni).

• Per poter fare i calcoli non usavano ovviamente la numerazione scritta, ma alcuni sassolini, che in latino si chiamavano appunto “calcoli”. I sassolini, a loro volta, venivano infilati nelle scanalature di un abaco. Ovviamente i romani non avevano parole per i numeri più grandi di 100.000 (per i greci, d’altra parte, 10.000 era già una “miriade”).

Molto comoda per moltiplicazioni e divisioni è stata la Tavola Pitagorica, su cui tutti gli studenti delle elementari hanno studiato le cosiddette “tabelline”. In origine il quadrato era composto da 100 caselle, 10 per lato: sulla prima fila in orizzontale e verticale ci sono i multipli di uno, sulla seconda i multipli di due e così via.

• In pratica ogni riga e ogni colonna costituiscono una progressione aritmetica la cui ragione è uguale al numero posto nella prima casella. I numeri posti sulla diagonale principale (da sinistra in alto a destra in basso) sono i quadrati dei primi 10 numeri naturali. I numeri sulla diagonale secondaria (da destra in alto a sinistra in basso) sono composti di due fattori, di cui il primo aumenta di una unità e il secondo diminuisce: cioè 10=1×10, 18=2×9, 24=3×8 ecc.
• Perché si chiama “Tavola Pitagorica” e qual è la sua storia?
  Severino Boezio (filosofo vissuto nel 500 dopo Cristo), nel libro “Geometria” scrive che i discepoli di Pitagora, per non fare errori di calcolo nella moltiplicazione e nella divisione si servivano di una figura particolare alla quale diedero il nome di tavola o mensa pitagorica in onore del loro maestro. Il libro di Severino Boezio nel Medioevo era molto conosciuto particolarmente per opera del papa Silvestro II° (morto nel 1003) che diffuse in Europa il calcolo in base 10. La tavola riportata da Boezio si ferma alla colonna del 9. 

• Nell’antichità solitamente i calcoli venivano fatti con bastoncini, pietruzze, aste con tacche, cordicelle con nodi… Pochissimo conosciuti sono sempre stati i numeri frazionari: non arrivavano mai oltre 1/2.

• I Sumeri, che vivevano in Babilonia, furono i primi a creare un modo di scrivere i numeri in cui il valore della cifra era determinato anche dalla sua posizione. Ancora oggi questo metodo viene usato negli orologi, per contare il tempo. Tuttavia, mentre il nostro sistema di calcolo e misurazione è a base 10, per i Sumeri era a base 60 (di qui peraltro la nostra divisione delle ore in 60 minuti e dei minuti in 60 secondi).

• Viceversa, i romani usavano cifre poco adatte per eseguire calcoli oppure operazioni scritte rapidamente. È vero che Beda il Venerabile (672-735) parla di romana computatio, riferendosi al calcolo sulle dita delle due mani, appoggiate a questa o quella parte del corpo, per indicare i numeri sino a un milione, ma questa abilità oggi ci è totalmente sconosciuta. Di certo noi sappiamo che i romani eseguivano i loro calcoli con l’abaco.

Sistema posizionale a base tre (simboli: 0, 1, 2).

L’abaco è il progenitore del più moderno pallottoliere. La parola viene dal semitico abq, che significa “polvere”, “sabbia”. Non si sa quale popolo abbia inventato questa potente macchina calcolatrice, forse i babilonesi: gli esemplari a nostra disposizione (e che appartennero ai Maya, Egiziani, Cinesi, Romani…) hanno più di 2000 anni. (Alcuni storici sostengono che l’abaco abbia più di 5000 anni).

In latino i “calculi” stavano appunto a significare i “sassolini” che si ponevano in una tavoletta con apposite scanalature.    In Occidente è stato importato verso il Mille ed è rimasto in uso fino al XVI sec, benché già nel 1215, in una gara di calcolo voluta dall’imperatore Federico II di Svevia, si era appurato che il calcolo coi numeri indo-arabi era più veloce di quello coll’abaco. Lo “zero” non ebbe mai una rappresentazione grafica o simbolica.

Abaco romano: a sinistra i pallini in posizione di calcolo; a destra raffigurano il n. 641.792. Le palline superiori valevano cinque unità ciascuna; quelle inferiori una unità. Ogni fila verticale rappresenta valori numerici crescenti: partendo dall’ultima, unità, decine, centinaia ecc.

• Nelle scuole elementari giapponesi si chiama soroban e lo si usa ancora oggi. E’ composto di 25 file verticali di cinque palline divise in quattro, più una da un’asta orizzontale. Ogni pallina sotto l’asta corrisponde a un’unità e ogni pallina sopra l’asta a una cinquina. Muovendo le palline con riporti di tipo semidecimale si possono eseguire tutte le operazioni di aritmetica, calcolando fino a diversi milioni, ma anche molte operazioni di algebra, con velocità pari a quelle consentite dal calcolatore tascabile, tanto che viene usato da molti negozianti, impiegati postali e bancari (specie per il cambio di valuta).

Il pallottoliere sopravvive anche in Cina e in Russia. Se dotato di 15 bacchette ha una capacità numerica di centomila miliardi meno uno. Per fare operazioni con questo strumento basta conoscere la tabella di addizione e la tavola pitagorica da uno a nove.

• La difficoltà maggiore sta nell’abilità che devono acquisire le dita. Basta un piccolissimo sbaglio e bisogna ricominciare tutto da capo, perché un pallottoliere non può registrare i risultati intermedi.